数学教学设计：等比数列的前n项和
柘城县高级中学 李雪锋（华图特约）
教学目标：
（1）探索导出等比数列前n项和公式，掌握推导方法；（2）掌握等比数列前n项和基本应用。
重点、难点：
等比数列前n项和公式的推导方法、应用。
教学过程：
一、公式的推导：数列{an} 以a1为首项，q为公比，记前n项和为Sn ∴Sn=a1+a2+……+an q=1时，Sn=na1 q=-1时，Sn=0此时n为偶数，Sn= a1此时n为奇数。
方法一（错位相减法q≠1）
Sn= a1+a2+……+an ⑴ qSn=a2+a3+……+an+1 (2)
由⑴-(2)（1-q）Sn=a1-a1qn 则Sn===xqn-x
其中x=
方法二：（应用比例性质）（q≠-1）
由等比数列定义==……==qq=
=Sn=
方法三（方程思想q≠1）
由Sn=a1+a2+……+an=a1+q(a1+a2+……+an-1+an-an)
=a1+q(Sn-an)Sn=
方法四：（构造递推q≠1）
由Sn=a1+a2+……+an=a1+q(a1+a2+……+an-1)=a1+qSn-1
Sn-=q(Sn-1-) ∴{Sn-}是以a1-为首项
q为公比的等比数列 ∴Sn-＝-·qn-1=-
∴ Sn＝＝
方法五：（拆项法q≠1）
由Sn= a1+a2+……+an
两边同乘1-q（1-q）Sn=a1-a2+ a2-a3+……+an-an+1
=a1-a1qnSn=
二、前n项和公式的应用
例1：在等比数列{an}中：（1）若Sn=189,q=2,an=96求a1和n
（2）若q=2，S4=1 求 S8
解：（1）由Sn=，an=a1qn-1189=
96=a1×2n-1 a1=3 n=6
（2）S8＝（a1+a2+a3+a4）+(a5+a6+a7+a8)
＝S4+q4S4=17
例2：求和（a-1）+(a2-2)+……+（an-n） 其中a≠0
解：含S=（a-1）+（an-2）+……+（an-n）
当a=1时S=n-=-n2+n
当a≠1时S=－
例3：已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+3求{an}前n项和Sn
解：由an+1=2an+3an+1+3=2(an+3)
∴{an+3}是以6为首项 2为公比的等比数列
∴ an+3=6×2n-1an=6×2n-1-3
∴ Sn=a1+a2+……+an=6×(20+21+…2n-1)-3n=6×-3n
=3×2n+1-3n-6
小结：总结求和中的错位相减法，构造递推的办法，要求理解并掌握，尤其求和时q=1和q≠1的讨论应注意。
课堂练习：P58 练习：一、（1） （2）
作业：P61 习题2、5 A组1、4