3向量的坐标
向量在轴上的投影
几个概念
● 轴上有向线段的值：设有一轴u， 是轴u上的有向线段，如果数 满足 ，且当 与轴u同向时 是正的，当 与轴u反同向时 是负的，那么数 叫做轴u上有向线段 的值，记做AB，即 。设e是与u轴同方向的单位向量，则
● 设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有
● 两向量夹角的概念：设有两个非零向量a和b，任取空间一点O，作 ， ，规定不超过 的 称为向量a和b的夹角，记为 。
● 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点 叫做点A在轴u上的投影。
向量 在轴u上的投影：设已知向量 的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点 和 ，那么轴u上的有向线段的值 叫做向量 在轴u上的投影，记做
1. 投影定理
● 性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 的余弦：
● 性质2：两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
● 性质3：向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即
4向量运算的坐标表示
设a = {ax，ay，az}，b = {bx，by，bz}即a = ax i + ayj + azk，b = bx i +by j +bzk
则
◆ 加法： a + b = （ax+ bx）i +（ay + by） j +（az + bz）k
◆ 减法： a―b = （ax－bx ）i + （ay－by） j +（ az－bz ）k
◆ 乘数： λa = (λax )i + (λay)j + (λaz)k
◆ 或 a + b ={ ax+ bx，ay + by，az + bz }
a－b ={ ax－bx，ay－by，az－bz }
λa = {λax，λay，λaz}
◆ 平行：若a≠0时，向量b∥a相当于b ＝λa，即
{bx，by，bz} =λ{ax，ay，az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
5向量的模与方向余弦的坐标表示式
1． 模
图 7－6
2． 方向余弦
由性质1知 ，当 时，有
◆ 任意向量的方向余弦有性质：
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
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