5.末三位数字组成的三位数能被8(125)整除的整数必能被8(125)整除。
由于1000=8×125,因此,1000的倍数当然也是8和125的倍数。
如判断765432是否能被8整除。
因为765432=765000+432
显然8|765000,故只要考察8是否整除432即可。由于432=8×54,即8|432,所以8|765432。
能被8整除的整数,末三位只能是000,008,016,024,…984,992。
由于125×1=125,125×2=250,125×3=375;
125×4=500,125×5=625;125×6=750;
125×7=875;125×8=10000
故能被125整除的整数,末三位数只能是000,125,250,375,500,625,750, 875。
6.各个数位上数字之和能被3(9)整除的整数必能被3(9)整除。
如478323是否能被3(9)整除?
由于478323=4×100000+7×10000+8×1000+3×100+2×10+3
=4×(99999+1)+7(9999+1)+8×(999+1)+3×(99+1)+2×(9+1)+3 =(4×99999+7×9999+8×999+3×99+2×9)+(4+7+8+3+2+3)
前一括号里的各项都是3(9)的倍数,因此,判断478323是否能被3(9)整除,只要考察第二括号的各数之和(4+7+8+3+2+3)能否被3(9)整除。而第二括号内各数之和,恰好是原数478323各个数位上数字之和。
∵4+7+8+3+2+3=27是3(9)的倍数,故知478323是3(9)的倍数。
在实际考察4+7+8+3+2+3是否被3(9)整除时,总可将3(9)的倍数划掉不予考虑。
即考虑被3整除时,划去7、2、3、3,只看4+8,考虑被9整除时,由于7+2=9,故可直接划去7、2,只考虑4+8+3+3即可。
如考察9876543被9除时是否整除,可以只考察数字和(9+8+7+6+5+4+3)是否被9整除,还可划去9、5+4、6+3,即只考察8
如问3是否整除9876543,则先可将9、6、3划去,再考虑其他数位上数字之和。由于3|(8+7+5+4),故有3|9876543。
实际上,一个整数各个数位上数字之和被3(9)除所得的余数,就是这个整数被3(9)除所得的余数。
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